The Profile of Relations*

Le profil d'une structure relationelle R est la fonction φ_R qui compte pour chaque entier n le nombre de ses sous-structures à n éléments, les sous-structures isomorphes étant identifiées. Dans cet exposé, je donne quelques exemples, notamment des exemples venant des groupes, et présente quelques faits frappants concernant le comportement des profils. J'indique le rôle joué par quelques notions de la théorie de l'ordre et de la combinatoire (eg belordre, algèbre ordonnée, théorème de Ramsey) dans l’étude du profil. Comme illustration, je montre que le profil d'une structure relationnelle R dont l’âge est inépuisable et de hauteur au plus ω(k + 1) satisfait l'inégalité pour tout entier n. Les recherches en cours suggèrent de voir le profil d'une structure relationnelle R comme la fonction de Hilbert d'une algèbre graduée associée à R; un exemple est l'algèbred'unâge, inventée par P.J. Cameron. Je présente la solution d'une conjecture de Cameron sur l'intégrité de l'algèbre d'un âge, ainsi que quelques progrès récents faits avec Y.Boudabbous et N.Thiéry sur la conjecture que la série génératrice associée à un profil est une fraction rationnelle lorsque ce profil est borné par un polynôme (et la structure a un noyau fini).